Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分別是直线y=﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：

①线段EF长度是否有最小值．

②△BEF能否成为直角三角形．

小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．

（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．

（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．

Answer 1

【答案】（1）连线见解析，二次函数；（2）；（3）m=0或m=

【解析】

（1）根据描点法画图即可；

（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；

（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．

解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．

（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，

则∠FGK=∠DHK=90°，

记FD交y轴于点K，

∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，

∴KF=KD，

∵∠FKG=∠DKH，

∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），

∴FG=DH，

∵直线AC的解析式为y=﹣x+4，

∴x=0时，y=4，

∴A（0，4），

又∵B（﹣2，0），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴，

解得，

∴直线AB的解析式为y=2x+4，

过点F作FR⊥x轴于点R，

∵D点的橫坐标为m，

∴F（﹣m，﹣2m+4），

∴ER=2m，FR=﹣2m+4，

∵EF2=FR2+ER2，

∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，

令﹣+4=0，得x=，

∴0≤m≤．

∴当m=1时，l的最小值为8，

∴EF的最小值为2．

（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．

②∠BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．

③如图3，∠BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．

由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，

又∵BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4，

∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，

又∵BE2=（m+2）2，

∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，

化简得，3m2﹣10m+8=0，

解得m1=，m2=2（不合题意，舍去），

∴m=．

综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m=0或m=．