Question

15．定义：自变量为x的某个函数记为f（x），当自变量x取某个实数x₀时的函数值记f（x₀），自变量x的取值范围为函数的定义域，定义域内的自变量x对应的所有的函数值的集合为函数的值域．若a、b为任意两个不相等的实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，记为[a，b]．
（1）设反比例函数f（x）=$\frac{k}{x}$（k＞0）的定义域是[3，6]，值域为[2，a]，求k、a的值；
（2）一次函数f（x）=kx+b（k≠0）的定义域[-3，1]，值域为[5，9]，求函数的解析式；
（3）是否存在这样的b、c，使得二次函数f（x）=x²+bx+c的定义域为[-4，2]值域为[6，10]，若存在，求b、c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为反比例函数f（x）=$\frac{k}{x}$（k＞0）的定义域是[3，6]，值域为[2，a]，所以在第一象限，y随x的增加而减小，得到x=6时，y=2，推出k=12，当x=3时，y=$\frac{12}{x}$=4，即a=4．
（2）由于一次函数是递增或递减函数，所以当一次函数y=kx+b为增函数时，则x=-3，y=5；x=1，y=9当一次函数y=kx+b为减函数时，则x=-3，y=9；x=1，y=5，然后把它们分别代入y=kx+b中得到方程组，再解两个方程组即可．
（3）二次函数f（x）=x²+bx+c的定义域为[-4，2]值域为[6，10]，对称轴x=-$\frac{b}{2}$，按照对称轴在x=-4的左边，在[-4，-1]内，在[-1，2]内，在x=2的右边，分别列出方程组即可解决问题．

解答 解：（1）∵反比例函数f（x）=$\frac{k}{x}$（k＞0）的定义域是[3，6]，值域为[2，a]，
∴在第一象限，y随x的增加而减小，
∴x=6时，y=2，
∴k=12，
∴x=3时，y=$\frac{12}{x}$=4，
∴a=4．

（2）解：当x=-3，y=5；x=1，y=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=5}\\{k+b=9}\end{array}\right.$，
解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=8}\end{array}\right.$；
当x=-3，y=9；x=1，y=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=9}\\{k+b=5}\end{array}\right.$，
解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴函数的解析式为y=x+8或y=-x+6．

（3）存在．理由如下，
∵二次函数f（x）=x²+bx+c的定义域为[-4，2]值域为[6，10]，对称轴x=-$\frac{b}{2}$，
∴当-$\frac{b}{2}$＜-4时，$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）=6}\\{f（2）=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=6}\\{4+2b+c=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$（舍弃），
当-4≤-$\frac{b}{2}$≤-1时，$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{b}{2}）=6}\\{f（2）=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{2}+c=6}\\{4+2b+c=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=-8}\\{c=22}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=6}\end{array}\right.$（舍弃），
当-1＜-$\frac{b}{2}$≤2时，$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{b}{2}）=6}\\{f（-4）=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}^{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{2}+c=6}\\{16-4b+c=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{c=42}\end{array}\right.$（舍弃），
当-$\frac{b}{2}$＞2时$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）=10}\\{f（2）=6}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=10}\\{4+2b+c=6}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{4}{3}}\\{c=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$（舍弃），
综上所述，满足条件的b、c的值为$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=10}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法求函数解析式、函数的增减性等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，把问题转化为方程组解决，属于中考压轴题．