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在如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB)中,将纸片折叠一次,使点A与C重合,精英家教网再展开,折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连接AF和CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)过E作EP⊥AD交AC于P,求证:2AE2=AC•AP;
(3)若AE=8cm,△ABF的面积为9cm2,求△ABF的周长.
分析:(1)连接EF交AC于O,当顶点A与C重合时,折痕EF垂直平分AC,可得OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,再利用矩形的性质求证
△AOE≌△COF,即可.
(2)过E作EP⊥AD交AC于P,由作法,∠AEP=90°,求证△AOE∽△AEP,可得
AE
AP
=
AO
AE
,再利用四边形AFCE是菱形,可得AO=
1
2
AC
AE2=
1
2
AC•AP
.即可.
(3)根据四边形AFCE是菱形,可得AF=AE=8.设AB=x,BF=y,可得(x+y)2-2xy=64①再根据三角形面积公式可得xy=18.②然后解方程即可.
解答:精英家教网解:(1)连接EF交AC于O,
当顶点A与C重合时,折痕EF垂直平分AC,
∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵AC⊥EF,
∴平行四边形AFCE是菱形.

(2)证明:过E作EP⊥AD交AC于P,
由作法,∠AEP=90°,
由(1)知:∠AOE=90°,又∠EAO=∠EAP,
∴△AOE∽△AEP,
AE
AP
=
AO
AE
,则AE2=AO•AP,
∵四边形AFCE是菱形,
AO=
1
2
AC

AE2=
1
2
AC•AP

∴2AE2=AC•AP.

(3)∵四边形AFCE是菱形,
∴AF=AE=8.
设AB=x,BF=y,
∵∠B=90,即三角形ABC为直角三角形,
∴x2+y2=64,
∴(x+y)2-2xy=64①,
又∵S△ABF=9,∴
1
2
xy=9
,则xy=18②,
由①、②得:(x+y)2=100,
∴x+y=10,x+y=-10(不合题意舍去),
∴△ABF的周长为x+y+AF=10+8=18.
点评:此题主要考查相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质,有一定的拔高难度,属于难题.
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科目:初中数学 来源: 题型:

(本小题满分14分)

在如图所示的一张矩形纸片)中,将纸片折叠一次,使点重合,再展开,折痕边于,交边于,分别连结

1.(1)求证:四边形是菱形;

2.(2)过,求证:

3.(3)若的面积为,求的周长;

 

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【小题1】(1)求证:四边形是菱形;
【小题2】(2)过,求证:
【小题3】(3)若的面积为,求的周长;

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科目:初中数学 来源:2011年广东省萝岗区初中毕业班综合测试数学卷 题型:解答题

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【小题2】(2)过,求证:
【小题3】(3)若的面积为,求的周长;

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2.(2)过,求证:

3.(3)若的面积为,求的周长;

 

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