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如图,在直角坐标系中,直线y=-
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x+5与x轴交于B点,与y轴交于C点,直线AC经过点D(-2精英家教网,3)并交x轴于点A.
(1)试求直线AC的函数关系式;
(2)过点A作BC的垂线交y轴于点E,求证:△AOE≌△COB;
(3)在x轴上是否存在一点P,使P点到D、E两点的距离之和最小?若存在,请画出图形并求此时P点坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先由直线y=-
5
2
x+5与y轴交于C点,求出C点坐标,再根据C、D两点在直线AC上,运用待定系数法即可求出直线AC的函数关系式;
(2)先求出A点坐标,得出OA=OC,再运用AAS证明即可;
(3)先求出E点坐标,再作出E点关于x轴的对称点F,连接DF交x轴于点P,则P点到D、E两点的距离之和最小.运用待定系数法求出直线DF的解析式,从而求出P点坐标.
解答:解:(1)∵直线y=-
5
2
x+5与y轴交于C点,
∴C点坐标为(0,5).
设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵C、D两点在直线AC上,
b=5
-2k+b=3

解得
k=1
b=5

∴直线AC的函数关系式为y=x+5;

(2)∵直线AC交x轴于点A,
∴A点坐标为(-5,0),
∴OA=OC.
在△AOE与△COB中,
∵∠AOE=∠COB=90°,∠OAE=∠OCB=90°-∠B,OA=OC,精英家教网
∴△AOE≌△COB;

(3)∵△AOE≌△COB,
∴OE=OB=2,
∴E点坐标为(0,2).
作出E点关于x轴的对称点F,则F(0,-2).
连接DF交x轴于点P,则P点到D、E两点的距离之和最小,此时PD+PE=PD+PF=DF.
设直线DF的解析式为y=mx+n,
把D(-2,3),F(0,-2)代入y=mx+n,得
-2m+n=3
n=-2

解得
m=-
5
2
n=-2

∴直线DF的解析式为y=-
5
2
x-2.
令y=0,得x=-
4
5

∴P点坐标为(-
4
5
,0).
点评:本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式,全等三角形的判定及性质,轴对称-最短路线问题,综合性较强,难度中等.
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PP′
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6
x
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3
2
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6
x
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6
6

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(8052,0)
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