Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点D，DE⊥AB于E．
（1）求证：CD=DE；
（2）若AE：AC=1：2，AB=10，求DE的长．

Answer 1

解：（1）连接OD、BD．
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵DE⊥AB于E，
∴OD∥BC，
∴∠1=∠3，
∵OD=OB
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=DE．
（2）∵∠DEA=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴===．
∴AD=AB=×10=5，BC=2DE．
设DE=x，则DC=DE=x，BC=2x，AC=5+x．
在△ABC中，AB²=AC²+BC²．
则100=（5+x）²+（2x）²，
解得：x=3，
DE的长为3．
分析：（1）连接OD、BD，则OD∥BC利用平行线的性质以及等边对等角，即可证得∠2=∠3，根据角平分线的性质即可证得；
（2）易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，可以得到：AD=AB=×10=5，BC=2DE，设DE=x，则DC=DE=x，BC=2x，AC=5+x，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可得到关于x的方程，求得x的值．
点评：本题考查了切线的性质定理，以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用勾股定理把求线段的长的问题转化为解方程的问题，体现了方程思想的应用．