Question

11．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（-$\sqrt{3}$，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x²-2x-3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求直线BD的解析式；
（4）在x轴上是否存在P，使以O、B、P三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）列方程即可求出点B、C坐标解决问题．
（2）由tan∠ABO=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，推出∠ABO=30°，∠ACO=60°，即可解决问题．
（3）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA=$\sqrt{3}$，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（4）存在．如图2中，延长BD交x轴于P₁．可以证明P₁满足条件，当P₂与A重合时也满足条件，再根据对称性写出P₃、P₄坐标即可．

解答 解：（1）∵由x²-2x-3=0得：
∴x₁=3，x₂=-1
∴B（0，3），C（0，-1），
∴BC=4．

（2）结论：AC⊥AB．理由如下：
∵A（$-\sqrt{3}$，0），B（0，3），C（0，-1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，OC=1，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=30°，∠ACO=60°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（3）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．

∴∠DEA=∠AOC=90°，
∵tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∵∠DCB=60°
∵DB=DC，
∴△DBC是等边三角形，
∵BA⊥DC，
∴DA=AC，
∵∠DAE=∠OAC，
∴△ADE≌△ACO，
∴DE=OC=1，AE=OA=$\sqrt{3}$
∴$OE=2\sqrt{3}$，
∴D的坐标为（$-2\sqrt{3}$，1）．
 设直线BD的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-2\sqrt{3}k+b=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3．

（4）存在．如图2中，延长BD交x轴于P₁．

由（3）可知，△DBC是等边三角形，
∴∠P₁BO=60°，
∵在△ABC中，∠ACB=60°，∠CAB=90°，
∴∠P₁BC=∠ACB=60°，∵∠P₁OB=∠CAB=90°，
∴△P₁BO∽△BCA，
∴$\frac{{P}_{1}O}{AB}$=$\frac{OB}{AC}$，
∴$\frac{{P}_{1}O}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴OP₁=3$\sqrt{3}$，
∴P₁（-3$\sqrt{3}$，0），
当P₂与A重合时，△BOP₂∽△BAC，此时P₂（-$\sqrt{3}$，0），
再根据对称性可得P₃（$\sqrt{3}$，0），P₄（3$\sqrt{3}$，0）也符合条件．
综上所述，点P的坐标为（-3$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，0）或（$\sqrt{3}$，0）或（3$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查相似形综合题、锐角三角函数、一次函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．