如图.在平面直角坐标系中.矩形OABC.点A.⊙D的半径是1．,(2)以垂直于x轴的直线x=a为折痕折叠矩形纸片OABC.边BC的对应边为B1C1．当B1C1与⊙D相切时.求a的值,(3)点M在边OC上.以AM为折痕折叠矩形纸片OABC.边BC的对应边为B2C2．①作⊙D的切线AE.AF.切点分别为E.F.求△AEF的面积,②当⊙D被四边形AMC2B2部分覆� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A（0，2），C（5，0），D（-2，1），⊙D的半径是1．
（1）点B的坐标是（5，2）；
（2）以垂直于x轴的直线x=a为折痕折叠矩形纸片OABC，边BC的对应边为B₁C₁．当B₁C₁与⊙D相切时，求a的值；
（3）点M在边OC上（端点除外），以AM为折痕折叠矩形纸片OABC，边BC的对应边为B₂C₂．
①作⊙D的切线AE，AF，切点分别为E，F，求△AEF的面积；
②当⊙D被四边形AMC₂B₂部分覆盖时，设直线AB₂的解析式是y=kx+2，求k的取值范围．

分析（1）由点A和点C的坐标可其肚饿AO、OC的长，由矩形的性质可得到AB、BC的长，从而可得到点B的坐标；
（2）当BC为⊙D相切时，点C₁的坐标为（-1，0）或（-3，0），然后依折叠的性质可得到关于a的方程，从而可求得a的值；
（3）①如图1所示：连接EF、AD、DE、DF，EF与AD的交点记为H．由题意可知AE=2，DE=1，由勾股定理可求得AD的长，依据射影定理可求得AH的长，然后在Rt△EHA中，依据勾股定理可求得HE的长，从而得到EF的长，最后依据三角形的面积公式求解即可；②过点F作FG⊥AE，垂足为G，利用面积法可求得FG的长，然后依据勾股定理可求得AG的长，从而得到点F的坐标，将点F的坐标代入一次函数的解析式可求得k的值，依据四边形恰好完全覆盖⊙D和⊙D与四边形AMC₂B₂的恰好不重合时k的取值可求得k的取值范围．

解答解：（1）∵点A（0，2），C（5，0），
∴OA=2，OC=5．
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=2，AB=OC=5．
∴点B的坐标为（5，2）．
故答案为：（5，2）．
（2）∵⊙D的半径是1，且点D的坐标为（-2，1），
∴当BC为⊙D相切时，点C₁的坐标为（-1，0）或（-3，0）．
由折叠的性质可知：当点C₁的坐标为（-1，0）时，5-a=a-（-1），解得：a=2；
当点C₁的坐标为（-3，0）时，5-a=a-（-3），解得：a=1．
所以当B₁C₁与⊙D相切时，a的值为1或2．
（3）①如图1所示：连接EF、AD、DE、DF，EF与AD的交点记为H．

∵A（0，2），D（-2，1），⊙D的半径是1，
∴AE=2，ED=1．
∵AE、AF为⊙D的切线，
∴AE=AF，DE⊥AE，DF⊥AF．
∵DE=DF，AE=AF，
∴AD是EF的垂直平分线．
在Rt△EDA中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵在Rt△EDA中，EH⊥AD，依据射影定理可知：AE²=AD•AH，
∴AH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△EHA中，HE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴EF=2EH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}$EF•AH=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8}{5}$．
②如图2所示：过点F作FG⊥AE，垂足为G．

∵由①可知AE=2，S_△AEF=$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$AE•GF=$\frac{8}{5}$，即$\frac{1}{2}$×2•GF=$\frac{8}{5}$，解得FG=$\frac{8}{5}$．
在△AGF中，由勾股定理可知AG=$\sqrt{A{F}^{2}-G{F}^{2}}$=$\frac{6}{5}$．
∴OA-GF=$\frac{2}{5}$．
∴点F的坐标为（-$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
将点F的坐标代入一次函数的解析式得：-$\frac{6}{5}$k+2=$\frac{2}{5}$．
解得k=$\frac{4}{3}$．
∴当直线AB₂与AF重合时，即k=$\frac{4}{3}$时，⊙D与四边形AMC₂B₂的恰好不重合；
当直线AB₂与AE重合时，即k=0时，⊙D恰好全部被四边形AMC₂B₂覆盖．
综上所述可知当0＜k＜$\frac{4}{3}$时，⊙D被四边形AMC₂B₂部分覆盖．

点评本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、切线长定理、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、射影定理，三角形的面积公式，求得四边形恰好完全覆盖⊙D和⊙D与四边形AMC₂B₂的恰好不重合时k的值是解题的关键．

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