Question

a，b，c是△ABC的三边长，且关于x的方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后根据根的判别式△=b²-4ac=0证明．
解答：证明：由原方程，得
（b+c）x²-2ax-b+c=0，
∵关于x的方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有两个相等的实根，
∴△=4a²-4（b+c）（-b+c）=0，
即a²-c²+b²=0，
∴a²+b²=c²，
∴这个三角形是直角三角形．
点评：此题主要考查了勾股定理的逆定理和根的判别式，需要熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数．