Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结BE．

（1）求证：F为BC中点．

（2）若OB⊥AC，OF＝1，求平行四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形ABCD的周长为8．

【解析】

（1）先证明OB=OD，再证得EC//OD，EC=OD，进而得到OB//EC，OB=EC，说明四边形OBEC为平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明；

（2）先证明四边形ABCD平行四边形，再证明平行四边形DOEC是矩形，求得BC，即可求得菱形ABCD的周长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，

∵四边形DOEC为平行四边形，

∴OD∥EC，OD＝EC，

∴EC∥OB，EC＝OB，

∴四边形OBEC为平行四边形，

∴BF＝CF，即F为BC中点；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，

∴四边形ABCD是菱形，

∵四边形OBEC为平行四边形，OB⊥AC，

∴四边形OBEC为矩形，

∴BC＝OE＝2OF，

∵OF＝1，

∴BC＝2，

∴平行四边形ABCD的周长＝4BC＝8．