Question

10．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-3，0），（3，0），点P在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，若△PAB为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 分类讨论：①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为-3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点坐标为（-3，-$\frac{2}{3}$）；②当∠APB=90°，设P（x，$\frac{2}{x}$），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）²+（$\frac{2}{x}$）²+（x-3）²+（$\frac{2}{x}$）²=36，解得x=±$\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{2}}$或x=±$\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{2}}$，然后计算出y的值，所以此时P点坐标为（$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$），③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P（3，$\frac{2}{3}$）．

解答 解：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为-3，把x=-3代入y=$\frac{2}{x}$得y=-$\frac{2}{3}$，所以此时P（-3，-$\frac{2}{3}$）；
②当∠APB=90°，设P（x，$\frac{2}{x}$），PA²=（x+3）²+（$\frac{2}{x}$）²，PB²=（x-3）²+（$\frac{2}{x}$）²，AB²=（3+3）²=36，
因为PA²+PB²=AB²，
所以（x+3）²+（$\frac{2}{x}$）²+（x-3）²+（$\frac{2}{x}$）²=36，
整理得x⁴-9x²+4=0，所以x²=$\frac{9+\sqrt{65}}{2}$，或x²=$\frac{9-\sqrt{65}}{2}$，
∴x₁=$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，x₃=$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，x₄=-$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，
∴此时P的坐标为（$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$），
③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入y=$\frac{2}{x}$得y=$\frac{2}{3}$，所以此时P（3，$\frac{2}{3}$）；
综上所述，满足条件的P点为（-3，-$\frac{2}{3}$）或（$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18+2\sqrt{65}}}$）或（$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$）或（-$\frac{\sqrt{18-\sqrt{65}}}{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{18-2\sqrt{65}}}$）或（3，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．