Question

已知，x²-ax+3-b=0有两个不相等的实数根；x²+（6-a）x+6-b=0有两个相等的实数根；x²+（4-a）x+5-b=0没有实数根，则a、b的取值范围是

2＜a＜4；2＜b＜5

．

Answer 1

分析：根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到a²-4（3-b）＞0，即a²-12+4b＞0①；（6-a）²-4（6-b）=0，即a²+4b=12a-12②；（4-a）²-4（5-b）＜0，即a²-8a+4b-4＜0③，再把②分别代入①③可求得a的取值范围为2＜a＜4；然后变形（6-a）²-4（6-b）=0得到b=-

1

4

（a-6）²+6，由于2＜a＜4，b随a的增大而增大，则2＜b＜5．

解答：解：∵x²-ax+3-b=0有两个不相等的实数根，
∴a²-4（3-b）＞0，即a²-12+4b＞0①，
∵x²+（6-a）x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴（6-a）²-4（6-b）=0，即a²-12a+4b+12=0，则a²+4b=12a-12②，
，又∵x²+（4-a）x+5-b=0没有实数根，
∴（4-a）²-4（5-b）＜0，即a²-8a+4b-4＜0③，
把②分别代入①③得12a-12-12＞0，12a-12-8a-4＜0，
∴2＜a＜4；
∵（6-a）²-4（6-b）=0，
∴b=-

1

4

（a-6）²+6，
∴2＜b＜5．
故答案为2＜a＜4；2＜b＜5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．