Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A（－1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使点P到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点P的坐标；

（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点M关于x轴的对称点为N，使得四边形AMBN为正方形？若存在，请直接写出此抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）点P（1，2）；（3）存在，理由见解析；或

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴x=1和点A坐标求出点B坐标，将A、B两点代入表达式解出b、c值即可；

（2）连接BC，与x轴交于点P，此时点P满足到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出BC表达式，令x=1，求出函数值，可得点P坐标；

（3）根据正方形的性质，可得M、N点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．

综合与探究

解：（1）∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A（－1，0），B两点，对称轴为x=1．

∴B点坐标为（3，0），

把A（－1，0），B（3，0）代入y=－x2+bx+c，

得，解得，

∴抛物线的函数表达式为：y=－x2+2x+3

（2）如图，连接BC，与对称轴交于点P，则点P为所求

当x=0时，y=－x2+2x+3=3，∴点C（0，3）

设直线BC的函数表达式为y=kx+m，将B（3，0），C（0，3）

代入得，解得.

∴直线BC的函数表达式为y=－x+3.

当x=1时，y=－x+3=2

∴点P（1，2）

（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点M关于x轴的对称点为N，使得四边形AMBN为正方形，

由AMBN是正方形，A（-1，0）B（3，0），得

M（1，-2），N（1，2），或M（1，2），N（1，-2），

①当顶点M（1，-2）时，设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-2，
将A点坐标代入函数解析式，得
a（-1-1）2-2=0，

解得a=，

抛物线的解析式为，

②当M（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，将
A点坐标代入函数解析式，得
a（-1-1）2+2=0，

解得a=，

抛物线的解析式为，

综上所述：或，使得四边形AMBN为正方形．