【题目】如图,抛物线
的对称轴为直线x=2,且抛物线经过A(1,0),C(0,5)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B. C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
(3)在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作Q，使得Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大Q?若存在，请直接写出最大Q的半径；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 
(2) P的坐标为(3,8)或(-2,7)； (3)
【解析】
（1）根据对称轴及A点坐标得出B点坐标，从而得出直线BC解析式，再由A、B、C三点坐标得出抛物线解析式；
（2）分别过B、C两点作BC的垂线，得出垂线的解析式，与抛物线解析式联立解出P点；
（3）平移BC到与抛物线刚好相切之处，此时的切点即为Q点，此时Q点距BC的距离最大，也就是半径最大．运用等面积法进行处理．设切线与y轴的交点为H，则△HBC与△QBC的面积相等，算出面积，再以BC为底，算出BC边上的高即为答案．
(1)∵对称轴为x=2,且抛物线经过A(1,0)，
∴B(5,0).
把B(5,0),C(0,5)分别代入y=mx+n得
,解得：
，
∴直线BC的解析式为y=x5.
设y=a(x5)(x+1)，把点C的坐标代入得：5a=5，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：.
（2）①过点C作
,交抛物线于点
，如图，
则直线
的解析式为y=x5,
由
,解得：
(舍去), 
，
∴ (3,8)；
②过点B作
,交抛物线于
，如图，
则
的解析式为y=x+5，
由
,解得：
(舍去), 
，
∴ (-2,7)；
∴P的坐标为(3,8)或(-2,7)；
（3）由题意可知,Q点距离BC最远时,半径最大.平移直线BC,使其与抛物线只有一个公共点Q(即相切)，设平移后的直线解析式为y=x+t，
由
,消去y整理得
，
△=
,解得
，
∴平移后与抛物线相切时的直线解析式为
,且Q
，
连接QC、QB，作QE⊥BC于E，如图，
设直线与y轴的交点为H，连接HB，
则S△HBC=
BOCH，
∵CH=5(
)=
，
∴S△HBC=×5×=
，
∴S△QBC=S△HBC=，
∵S△QBC=BCQE, BC=
，
∴QE=，
即最大半径为.
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【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点P从点A出发，沿A→B→C向终点C匀速运动，在边AB，BC上分别以4cm/s，3cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→D→C向终点C匀速运动，在边AD，DC上分别以3cm/s，4cm/s的速度运动，连接PQ，设点P的运动时间为t(s)，四边形PBDQ的面积为S(cm2).
(1)当点P到达边AB的中点时，求PQ的长；
(2)求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
(3)连接DP，当直线DP将矩形ABCD分成面积比为1：5两部分时，直接写出t的值，并写出此时S的值．
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【题目】如图，∠A=∠B=30°，P为AB中点，线段MV绕点P旋转，且M为射线AC上（不与点d重合）的任意一点，且N为射线BD上（不与点B重合）的一点，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若AB=4，60°≤α≤90°，直接写出△BPN的外心运动路线的长度。
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【题目】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；
（2）当运动开始后
秒时，试判断△DPQ的形状；
（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．
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【题目】图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在下图中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须在方格纸的格点上．
（1）在图（a）中画一个等腰三角形，使它的底边长是4，且面积是16；
（2）在图（b）中画一个等腰直角三角形，使它的面积是10；
（3）在图（c）中画一个四边形，使它既是轴对称又是中心对称图形，且面积是29．
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【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=2
，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）
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【题目】问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=
∠BAC=60°，于是
= 
=
；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的长．
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【题目】如图，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
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【题目】如图，线段AB=2，C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF，连EF，点P为EF的中点．当点C从A运动到B时，P点运动路径长为____．
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