Question

16．已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax²-x+c经过点A、D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）如果点C（-2，y）在这条抛物线上，在y轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式可求出A与D的坐标，然后将A、D的坐标代入抛物线的解析式中即可求出a、c的值，然后令y=0代入抛物线的解析式中即可求出B的坐标．
（2）设P（0，m），由（1）可求出点C的坐标，然后根据勾股定理求出BC²、CP²、BP²，由于△BCP为等腰三角形，故分三种情况：BC=CP、BC=BP，BP=CP，然后列出方程求出m的值．

解答 解：（1）令x=0代入y=-2x+4，
∴y=4，
∴D（0，4），
令y=0代入y=-2x+4，
∴x=2，
∴A（2，0），
把A（2，0）和D（0，4）代入y=ax²-x+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2+c}\\{4=c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4
∴令y=0代入y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
解得：x=2或x=-4
∴B（-4，0）
（2）将C（-2，y）代入y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
∴y=4，
∴C（-2，4），
设P（0，m）
∵B（-4，0），C（-2，4）
∴由勾股定理可知：BC²=（-4+2）²+（0-4）²=20，
BP²=（-4-0）²+（0-m）²=16+m²，
CP²=（-2-0）²+（4-m）²=4+（4-m）²，
当BC=BP时，
∴BC²=BP²，
∴20=16+m²，
∴m=±2，
P（0，2）或P（0，-2）
若P（0，2）时，此时B、C、P三点共线，
故P（0，-2）
当BC=CP时，
∴BC²=CP²，
∴20=4+（4-m）²
∴m=0或m=-8，
∴P（0，0）或P（0，-8），
当BP=CP时，
∴BP²=CP²，
∴16+m²=4+（4-m）²，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
∴P（0，$\frac{1}{2}$），
综上所述，P的坐标为：（0，-2）、（0，0）、（0，-8）、（0，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股定理，待定系数法求解析式，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质与判定，综合程度较高，需要学生综合运用所学的知识．