Question

【题目】已知点P是对角线BD上的一点，分别过点B、D作AP的垂线，垂足分别为点E、F，

（1）如图1，若点P为BD中点，∠BAP=30°，AD=5，CD=8，求AF的长；

（2）如图2，若点E在CD上，BE=DE，延长DF至G，使DG=AB，点H在BD上，连接AH、GH、EH、FH，若∠G=∠BAH，求证：HE=HF．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）详见解析.

【解析】分析： 根据平行四边形的性质，有 根据所对的直角边等于斜边的一半得到， 易证≌ 则 在中，用勾股定理即可求出的长.

设AB与DG的交点为K，连HK,证明△ABH≌△GDH，得到BH=HD, BEDK为平行四边形，H为BD中点，∠EFK=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到.HF=HE.

详解： 根据平行四边形的性质，有

易证≌

在中，

（2）设AB与DG的交点为K，连HK,

证 △ABH≌△GDH（ASA）,

∴BH=HD,

∵BEDK为平行四边形，H为BD中点，

∴E,H,K共线

又∠EFK=90°，

∴HF=HE.