【题目】如图,P是正方形ABCD对角线AC上一点,点E在BC上,且PE=PB.
(1)求证:PE=PD;
(2)连接DE,试判断∠PED的度数,并证明你的结论.
【答案】(1)详见解析;(2)∠PED=45°,证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据正方形的性质四条边都相等可得BC=CD,对角线平分一组对角线可得∠ACB=∠ACD,然后利用“边角边”证明△PBC和△PDC全等,根据全等三角形对应边相等可得PB=PD,然后等量代换即可得证;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠PBC=∠PDC,根据等边对等角可得∠PBC=∠PEB,从而得到∠PDC=∠PEB,再根据∠PEB+∠PEC=180°求出∠PDC+∠PEC=180°,然后根据四边形的内角和定理求出∠DPE=90°,判断出△PDE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求解即可.
试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠ACB=∠ACD,
在△PBC和△PDC中,
,
∴△PBC≌△PDC(SAS),
∴PB=PD,
∵PE=PB,
∴PE=PD;
(2)判断∠PED=45°.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∵△PBC≌△PDC,
∴∠PBC=∠PDC,
∵PE=PB,
∴∠PBC=∠PEB,
∴∠PDC=∠PEB,
∵∠PEB+∠PEC=180°,
∴∠PDC+∠PEC=180°,
在四边形PECD中,∠EPD=360°﹣(∠PDC+∠PEC)﹣∠BCD=360°﹣180°﹣90°=90°,
又∵PE=PD,
∴△PDE是等腰直角三角形,
∴∠PED=45°.
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【题目】下列命题中是假命题的是( )
A. 直角的补角是直角
B. 两直线平行,一组同旁内角的角平分线互相垂直
C. 等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一
D. 有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
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【题目】两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
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【题目】为了认真贯彻教育部关于与开展“阳光体育”活动的文件精神,实施全国亿万学生每天集体锻炼一小时活动,吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下,积极参加体育锻炼,掀起校园内体育锻炼热潮,我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动,为了解“阳光体育”活动的落实情况,我市教育部门在红旗中学2000名学生中,随机抽取了若干名学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的活动),并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)参加调查的人数共有 人,在扇形统计图中,表示“C”的扇形的圆心角为 度;
(2)补全条形统计图,并计算扇形统计图中m的值;
(3)若要从该校喜欢“D”项目的学生中随机选择8名进行节目排练,则喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是多少?
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