Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；
①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC.
其中正确的个数是

A．1         B．2        C．3        D．4

Answer 1

D

试题分析：如图所示，

结论①正确。理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN。
又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6。∴AM=AE=BF．
易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC。
在△ACM与△ABF中，∵AC=AB，∠CAM=∠B=45°,AM=BF,
∴△ACM≌△ABF（SAS）。∴CM=AF。
结论②正确．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4。
∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°。∴CE⊥AF。
结论③正确。理由如下：
∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆。∴∠7=∠2。
∵∠2=∠4，∴∠7=∠4。
又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH。
结论④正确．理由如下：
∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°。
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC。
综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个。故选D。