Question

【题目】如图，ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：EO=FO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠OBE=∠ODF．

在△OBE与△ODF中，

∴△OBE≌△ODF（AAS）．

∴EO=FO；

（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，

∴∠GEA=∠GFD=90°．

∵∠A=45°，

∴∠G=∠A=45°．

∴AE=GE

∵BD⊥AD，

∴∠ADB=∠GDO=90°．

∴∠GOD=∠G=45°．

∴DG=DO，

∴OF=FG=1，

由（1）可知，OE=OF=1，

∴GE=OE+OF+FG=3，

∴AE=3．

【解析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；（2）先证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．