练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图2、图3为解答备用图]

    （1）k=______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；
    （2）设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
    （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
    （4）在抛物线y=x2-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
    【答案】分析：（1）把C（0，-3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；
    （2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；
    （3）设D（m，m2-2m-3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．
    解答：解：（1）把C（0，-3）代入抛物线解析式y=x2-2x+k中得k=-3
    ∴y=x2-2x-3，
    令y=0，
    即x2-2x-3=0，
    解得x1=-1，x2=3．
    ∴A（-1，0），B（3，0）．

    （2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
    ∴抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM．
    则△AOC的面积=，△MOC的面积=，
    △MOB的面积=6，
    ∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．
    说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
    积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．

    （3）如图（2），设D（m，m2-2m-3），连接OD．
    则0＜m＜3，m2-2m-3＜0
    且△AOC的面积=，△DOC的面积=m，
    △DOB的面积=-（m2-2m-3），
    ∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
    =-m2+m+6
    =-（m-）2+．
    ∴存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为．

    （4）有两种情况：
    如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．
    ∵∠CBO=45°，
    ∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
    ∴点E的坐标为（0，3）．
    ∴直线BE的解析式为y=-x+3．
    由
    解得
    ∴点Q1的坐标为（-2，5）．
    如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．
    ∵∠CBO=45°，
    ∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
    ∴点F的坐标为（-3，0）．
    ∴直线CF的解析式为y=-x-3．
    由
    解得
    ∴点Q2的坐标为（1，-4）．
    综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．

    说明：如图（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．
    点评：本题考查了抛物线解析式的求法，运用解析式解决面积问题，及求构成直角三角形的条件等知识．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知二次函数的图象是经过点A（1，0），B（3，0），E（0，6）三点的一条抛物线．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）如图，设抛物线的顶点为C，对称轴交x轴于点D，在y轴正半轴上有一点P，且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似，求P点的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    精英家教网阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=
    12
    ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
    解答下列问题：
    如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
    （3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
    （4）在（2）的条件下，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h、面积为S，请分别写出h和S关于x的函数关系式．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，矩形ABCD，点C与坐标原点O重合，点A在x轴上，点B坐标为（3，
    		3
    ），求经过A、B、C三点抛物线的解析式；
    （2）如图2，抛物线E：y=-
    1
    2
    x2+bx+c    经过坐标原点O，其顶点在y轴左侧，以O为顶点作矩形OADC，A、C为抛物线E上两点，若AC∥x轴，AD=2CD，则抛物线的解析式是
     
    ；
    （3）如图3，点A、B、C分别为抛物线F：y=ax2+bx+c（a＜0）上的点，点B在对称轴右侧，点D在抛物线外，顺次连接A、B、C、D四点，所成四边形为矩形，且AC∥x轴，AD=2CD，求矩形ABCD的周长（用含a的式子表示）．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，将抛物线y=-
    1
    2
    x2    平移后经过原点O和点A（6，0），平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y=-
    1
    2
    x2    相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料：
    如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

    解答下列问题：
    如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
    （3）设点P是抛物线（第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案