Question

如图，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上．
（1）求证：△ADG∽△ABC；
（2）设DE=xmm，矩形DEFG的面积为ymm²，写出y与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，y有最大值，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）由于四边形DEFG是矩形，所以DG∥EF，
∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，

（2）由△ADG∽△ABC得=，
∴==，
∴DG=2（40-x）
则矩形面积y=x•2（40-x）=-2x²+80x=-2（x-20）²+800
整理得y=-（x-20）²+800．

（3）当-（x-20）²=0时．y的值最大．
解得x=20，即当x=20时，y的值最大，最大值为800．
答：（2）y与x的函数关系式为：y=-（x-20）²+800．
（3）当x=20时，y的值最大，最大值为800．
分析：（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，即可求证△ADG∽△ABC；
（2）根据△ADG∽△ABC，利用相似比等于对应高的比，求得DG=2（40-x），然后即可求出用x、y表示的矩形面积的关系式．
（3）当-（x-20）²=0时．y的值最大．解得x即可．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，矩形的性质，等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用相似三角形对应边的比等于其对应高的比，求得DG=2（40-x），然后即可求得y与x的函数关系式和最值．