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如图,有一块三角形的余料△ABC,它的高AH=40mm,边BC=80mm,要把它加工成一个矩形,使矩形的一边EF落在BC上,其余两个顶点D、G分别在AB、AC上.
(1)求证:△ADG∽△ABC;
(2)设DE=xmm,矩形DEFG的面积为ymm2,写出y与x的函数关系式;
(3)当x为何值时,y有最大值,并求出最大值.

解:(1)由于四边形DEFG是矩形,所以DG∥EF,
∴∠ADG=∠ABC,∠AGD=∠ACB,
∴△ADG∽△ABC,

(2)由△ADG∽△ABC得=
==
∴DG=2(40-x)
则矩形面积y=x•2(40-x)=-2x2+80x=-2(x-20)2+800
整理得y=-(x-20)2+800.

(3)当-(x-20)2=0时.y的值最大.
解得x=20,即当x=20时,y的值最大,最大值为800.
答:(2)y与x的函数关系式为:y=-(x-20)2+800.
(3)当x=20时,y的值最大,最大值为800.
分析:(1)利用矩形的性质,DG∥EF,利用同位角相等,即可求证△ADG∽△ABC;
(2)根据△ADG∽△ABC,利用相似比等于对应高的比,求得DG=2(40-x),然后即可求出用x、y表示的矩形面积的关系式.
(3)当-(x-20)2=0时.y的值最大.解得x即可.
点评:此题考查学生对相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,矩形的性质,等知识点的理解和掌握,此题的关键是利用相似三角形对应边的比等于其对应高的比,求得DG=2(40-x),然后即可求得y与x的函数关系式和最值.
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