Question

已知直线y=-x+6和反比例函数y=

k

x

（k≠0）．
（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？
（2）设（1）的两个公共点分别为A、B，∠AOB是锐角还是钝角？

Answer 1

分析：（1）当比例系数符号相同或组成方程组整理后的一元二次方程的判别式大于0时，两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；
（2）结合（1）中k的取值范围，分情况探讨∠AOB是锐角还是钝角．

解答：解：（1）分两种情况：
①当比例系数符号相同，即k＜0时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；
②解方程组

y=-x+6 y= k x

，
整理得：x²-6x+k=0，
∵它们有两个公共点，
∴36-4k＞0，
解得k＜9，在第一，三象限，
∴0＜k＜9．
故当0＜k＜9或k＜0时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点；

（2）①当k＜0时，如图1，点A、点B分别在第二、四象限，连接OA、OB，可知∠AOB＞∠xoy=90°，故∠AOB为钝角；

②当0＜k＜9时，如图2，点A、点B都在第一象限，连接OA、OB，可知∠AOB＜∠xOy=90°，故∠AOB为锐角．

点评：一次函数和反比例函数有两个交点时，这两个交点可能在两个不同的象限内，也可能在同一个象限内．