Question

【题目】如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=12,BC=16.将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合，点A折叠至点E处，GH为折痕，连接BG.

(1)△DGH是等腰三角形吗？请说明你的理由.

(2)求线段AG的长；

(3)求折痕GH的长.

Answer 1

【答案】(1)△ DGH是等腰三角形，理由见解析；(2) AG=3.5；(3)折痕GH的长为15.

【解析】

（1）由翻折，找着重合的部分，得到相等的边，相等的角，再根据两直线平行，内错角相等可得即可证明；

（2）设出未知数，用未知数表示出相关的量，应用勾股定理，列出方程可求得答案．

（3）由(2)知BG=DG=16-3.5=12.5，因为 DG=DH=BH，GE∥DH，从而求出四边形BHDG是菱形，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据菱形的面积列出方程求解即可．

(1)DGH是等腰三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∵AD∥BC,∴∠DGH=∠BHG，由折叠知∠DHG=∠BHG，∴∠DGH=∠DHG，∴DG=DH，即DGH是等腰三角形；

(2)由折叠知AG=GE，设AG=x，则BG=DG=16-x，∵∠A=90°，，∴，解得x=3.5，∴AG=3.5；

(3)由(2)知BG=DG=16-3.5=12.5，∵DG=DH=BH，GE∥DH，∴四边形BHDG是平行四边形，∴四边形BHDG是菱形.；

法一：作GF⊥BC于点F，则BF=AG=3.5,GF=AB=12，∴FH=BH-BF=12.5-3.5=9，

∴GH==,∴折痕GH的长为15.；

法二：连接BD，则BD===20，∵四边形BHDG是菱形，

∴S菱形BHDG=BH·AB=BD·GH，∴GH==15,∴折痕GH的长为15..