Question

为了保护公民的人身安全，自2011年5月1日我国开始实行修正后的《道路交通安全法》，特别对酒后驾驶机动车的有了更严格的规定．某市交警在今年5月1日这天对本市各大主要交通路口进行车辆检查，如图，AC是该市解放路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，与解放路AC的交叉路口分别是A，B，C．已知出警点D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，BD=2km，∠DBC=30°．
（1）求A、B的距离；
（2）第一组交警负责路口A，求该组从出警点D--C--B--A的距离．

Answer 1

分析：（1）根据平行线的性质可以证明：∠DAB=∠ADB，根据等角对等边即可证明AB=BD从而求解；
（2）过B作BO⊥DC，交直线DC于点O，在Rt△DBO中，利用三角函数即可求得DO的长，再在Rt△CBO中通过解直角三角形即可求得CD的长，即可求解．

解答：解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，
∠DBC=30°．
∴∠FBC=∠FBD+∠DBC=30°+30°=60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°．
∴∠DAB=15°．　　（2分）
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∠DBC=30°
∴∠ADB=15°．
∴∠DAB=∠ADB．
∴AB=BD=2km．
即A，B之间的距离为2km；

（2）过B作BO⊥DC，交直线DC于点O，
∵BF∥CD，
∴∠FBD=∠BDC=30°，
在Rt△DBO中，BD=2，
∴DO=2×cos30°=2×

3

2

=

3

，BO=2×sin30°=1．（6分）
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=

3

3

，
∴CD=DO-CO=

3

-

3

3

=

2 3

3

（km）．
∵∠BDC=∠DBC=30°，
∴CD=BC=

2 3

3

，（8分）
∴D-C-B-A的行驶距离为(

4 3

3

+2)km．（9分）

点评：本题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．