Question

（2012•河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm²）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．

薄板的边长（cm）	20	30
出厂价（元/张）	50	70

（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx²元，由题意，得：p=y-mx²，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．

解答：解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．
由表格中的数据，得

50=20k+n 70=30k+n

，
解得

k=2 n=10

，
所以y=2x+10；

（2）①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx²元，由题意，得：
p=y-mx²=2x+10-mx²，
将x=40，p=26代入p=2x+10-mx²中，
得26=2×40+10-m×40²．
解得m=

1

25

．
所以p=-

1

25

x²+2x+10．
②因为a=-

1

25

＜0，所以，当x=-

b

2a

=-

2

2×(- 1 25 )

=25（在5～50之间）时，
p_最大值=

4ac-b2

4a

=

4×(- 1 25 )×10-22

4×(- 1 25 )

=35．
即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．

点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．