Question

4．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若cos∠AOC=$\frac{2}{3}$，⊙O的半径为r，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和等腰三角形的性质求得∠BOF=∠COF，然后证得△BOF≌△COF，得到∠OCF=∠OBF=90°，即可证得结论；
（2）延长AC、BF交点为M，先根据三角形全等和平行线的性质求得∠MCF=∠M，即可证得FM=CF，进一步证得BF=MF，证得△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，根据相似三角形的性质证得GC=GE，解直角三角形求得
OE，进一步得到AE，根据勾股定理EC，AC，进一步得到EG，然后由三角形相似的性质求得BF，根据勾股定理即可求得AF．

解答 （1）证明：∵OF∥AC，
∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠BOF=∠COF，
在△BOF和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=CO}\\{∠BOF=∠COF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$ 
∴△BOF≌△COF，
∴∠OCF=∠OBF=90°，
又∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线
（2）解：延长AC、BF交点为M，
∵△BOF≌△COF，
∴BF=CF，∠BFO=∠CFO，
∵OF∥AM，
∴∠OFC=∠MCF，∠BFO=∠M，
∴∠MCF=∠M，
∴FM=CF，
∴BF=MF，
∵DC∥BM，
∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，
∴$\frac{EG}{BF}=\frac{AG}{AF}=\frac{GC}{FM}$，
∴GC=GE；
∵cos∠AOC=$\frac{2}{3}$，
∴OE=$\frac{2}{3}$r，
∴AE=r-$\frac{2}{3}$r=$\frac{1}{3}$r．
∴EC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$r．
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$r．
∵EG=GC，
∴EG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{{\sqrt{5}}}{6}$r．
∵△AEG∽△ABF，
∴$\frac{EG}{BF}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{6}r}{BF}$=$\frac{\frac{1}{3}r}{2r}$
∴BF=$\sqrt{5}$r．
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=3r．

点评 本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．