Question

【题目】如图所示，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α＝150°时，判断△AOD的形状,并说明理由。

（3）探究：当α=_____度时，△AOD是等腰三角形。

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，见解析 （3）100或130或160

【解析】

（1）根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，证明∠DCA＋∠ACO＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BOC＝150°，结合图形计算即可；

（3）分AD＝AO、DA＝DO、OD＝AO三种情况，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算．

（1）证明：∵△ADC≌△BOC，

∴∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，即∠OCB＋∠ACO＝60°，

∴∠DCA＋∠ACO＝60°，又CO＝CD，

∴△COD是等边三角形；

（2）解：∵△ADC≌△BOC，

∴∠ADC＝∠BOC＝150°，

∵△COD是等边三角形，

∴∠ODC＝60°，

∴∠ADO＝∠ADC∠ODC＝90°，

∠AOD＝360°100°150°60°＝50°，

∴∠OAD＝40°，

△AOD是直角三角形；

（3）解：当AD＝AO时，设∠AOD＝∠ADO＝x，

则∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝x＋60°，

∴∠BOC＝x＋60°，

则100°＋x＋60°＋x＋60°＝360°，

解得，x＝70°，

则α＝60°＋70°＝130°，

当DA＝DO时，设∠AOD＝∠DAO＝x，

则∠ADO＝180°2x，

∴∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝180°2x＋60°，

∴∠BOC＝240°2x，

则100°＋240°2x＋x＋60°＝360°，

解得，x＝40°，

则α＝240°2x＝160°，

当OD＝AO时，设∠OAD＝∠ADO＝x，

则∠ADC＝∠ADO＋∠ODC＝x＋60°，

∴∠BOC＝x＋60°，

则100°＋x＋60°＋180°2x＋60°＝360°，

解得，x＝40°，

则α＝60°＋40°＝100°，

综上所述，当α为100°或130°或160°时，△AOD是等腰三角形．