(1)问题背景如图1.Rt△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.∠ABC的平分线交直线AC于D.过点C作CE⊥BD.交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．(事实上.我们可以延长CE与直线BA相交.通过三角形的全等等知识解决问题．)结论:线段BD与CE的数量关系是 ,(2)类比探索在(1)中.如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（1）问题背景
如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）
结论：线段BD与CE的数量关系是______（请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．
结论：BD=______CE（用含n的代数式表示）．

【答案】分析：（1）延长CE、BA交于F点，先证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CF=2CE，然后证明△ADB≌△AFC可得BD=FC，进而证出BD=2CE；
（2）延长CE、AB交于点G，先利用ASA证明△GBE≌△CBE，得出GE=CE，则CG=2CE，再证明△DAB∽△GAC，根据相似三角形对应边的比相等及AB=AC即可得出BD=CG=2CE；
（3）同（2），延长CE、AB交于点G，先利用ASA证明△GBE≌△CBE，得出GE=CE，则CG=2CE，再证明△DAB∽△GAC，根据相似三角形对应边的比相等及AB=nAC即可得出BD=CG=2nCE．
解答：

解：（1）BD=2CE．理由如下：
如图1，延长CE、BA交于F点．
∵CE⊥BD，交直线BD于E，
∴∠FEB=∠CEB=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵BE⊥CF，
∴CF=2CE．
∵△ABC中，AC=AB，∠A=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∵在△ADB和△AFC中，

，
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE；

（2）结论BD=2CE仍然成立．理由如下：
如图2，延长CE、AB交于点G．
∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
又∵BE=BE，∠GEB=∠CEB=90°，
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，
∴CG=2CE．
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
∴∠D=∠G，

又∵∠DAB=∠GAC=90°，
∴△DAB∽△GAC，
∴

，
∵AB=AC，
∴BD=CG=2CE；

（3）BD=2nCE．理由如下：
如图3，延长CE、AB交于点G．
∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
又∵BE=BE，∠GEB=∠CEB=90°，
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，
∴CG=2CE．
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
∴∠D=∠G，
又∵∠DAB=∠GAC=90°，
∴△DAB∽△GAC，
∴

，
∵AB=nAC，
∴BD=nCG=2nCE．
故答案为BD=2CE；2n．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．题目比较好，综合性也比较强．

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结论：线段BD与CE的数量关系是

BD=2CE

（请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果AB≠AC，且AB=nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你直接写出BD与CE的数量关系．
结论：BD=

CE（用含n的代数式表示）．

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探究发现:

1.如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ，则此时铁片的形状是 _______，给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；

拓展迁移:

2.如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；

①当BE=DF=时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；

②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围．

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的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；

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【小题1】如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ，则此时铁片的形状是 _______，给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；

拓展迁移:
【小题2】如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；

①当BE=DF=

时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；
②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围．

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①当BE=DF=时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；
②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围．