Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于A，B，且⊙O₁的半径为3cm，⊙O₂的半径为5cm．
（1）过点B作CD⊥AB分别交⊙O₁和⊙O₂于C，D两点，连接AC，AD，如图（1），试求

AC

AD

的值；
（2）过点B任画一条直线分别交⊙O₁和⊙O₂于E，F，连接AE和AF，如图（2），试求

AE

AF

的值；
（3）在解答本题的过程中用到的数学思想方法是

 

．

Answer 1

分析：（1）由于90度的圆周角对的弦是直径，故AC，AD分别为两圆的直径，则AC：AD=3：5；
（2）连接AB，作GH⊥AB，分别交两圆于点G，H点，连接AG，AH，由圆周角定理可得到△AGH∽△AEF，有AE：AG=AF：AH，即AE：AF=AG：AH而求得AE：AF；
（3）解答本题的过程中用到的数学思想方法是转化的数学思想．

解答：解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ABC=∠ABD=90°．
∴AC是圆O₁的直径，且为6cm，AD为圆O₂的直径，且为10cm．
∴AC：AD=6：10=3：5．

（2）如图，连接AB，作GH⊥AB，分别交两圆于点G，H点，连接AG，AH，
∵∠E=∠G，∠F=∠H，
∴△AGH∽△AEF，
∴AE：AG=AF：AH，即AE：AF=AG：AH．
由1知，AG：AH=3：5，
∴AE：AF=3：5．

（3）在解答本题的过程中用到的数学思想方法是转化的数学思想．

点评：本题难度中等，利用了直角的弦是直径，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点解答，要熟练应用各知识点．