Question

【题目】如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：

①∠ACD=30°，②SABCD=ACBC；③OE：AC=：6；④S△OCF=2S△OEF，⑤△OEF∽△BCF成立的个数有（　　）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到SABCD=ACBC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6，故③正确；由三角形的中位线可得BC∥OE，可判断△OEF∽△BCF，故⑤正确；根据相似三角形的性质得到=2，求得S△OCF=2S△OEF；故④正确．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵CE平分∠BCD交AB于点E，

∴∠DCE=∠BCE=60°

∴△CBE是等边三角形，

∴BE=BC=CE，

∵AB=2BC，

∴AE=BC=CE，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；

∵AC⊥BC，

∴SABCD=ACBC，故②正确，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴AC=BC，

∵AO=OC，AE=BE，

∴OE=BC，

∴OE：AC=：6；故③正确；

∵AO=OC，AE=BE，

∴OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF，故⑤正确；

∴=2

∴S△OCF：S△OEF==2，

∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．

故选：D．