Question

2．如图所示，抛物线y=ax²+bx-$\sqrt{3}$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A，B两点的坐标分别为（-1，0），（3，0）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动；同时点Q从点B出发，以相同的速度沿线段BC向终点C运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接PQ．设点P运动的时间为t秒．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式．
（2）设点P关于直线BC的对称点为点D，连接DQ，BD．
①当DQ∥x轴时，求证：PQ=BD；
②在运动的过程中，点D有可能落在抛物线y=ax²+bx-$\sqrt{3}$上吗？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．
（3）在运动的过程中，请直接写出当点Q落在△BDP外部时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A，B两点的坐标（-1，0）和（3，0）分别代入y=ax²+bx-$\sqrt{3}$中，即可得到抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y=kx+d，把B，C两点的坐标代入，即可得到直线BC的解析式；
（2）①由对称性可得，PQ=DQ，根据∠DBQ=∠DQB，可得BD=QD，进而得到PQ=BD；②作DE⊥x轴于E，求得D（1+$\frac{1}{2}$t，-2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），把点D的坐标代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，可得t的值为2；
（3）当点Q在线段PD上时，求得t=$\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=8$\sqrt{3}$-12，当点Q与点C重合时，t=2$\sqrt{3}$，进而得出当点Q落在△BDP外部时，t的取值范围是8$\sqrt{3}$-12＜t≤2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）把A，B两点的坐标（-1，0）和（3，0）分别代入y=ax²+bx-$\sqrt{3}$中，
可得$\left\{\begin{array}{l}{0=a×（-1）^{2}+b×（-1）-\sqrt{3}}\\{0=a×{3}^{2}+b×3-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
∵抛物线y=ax²+bx-$\sqrt{3}$与y轴交于点C，
∴C（0，-$\sqrt{3}$），
设直线BC的解析式为y=kx+d，把B，C两点的坐标代入，
可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{d=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；

（2）①证明：由对称性可得，PQ=DQ，∠PBQ=∠DBQ，
∵DQ∥x轴，
∴∠PBQ=∠DQB，
∴∠DBQ=∠DQB，
∴BD=QD，
∴PQ=BD；
②点D能落在抛物线y=ax²+bx-$\sqrt{3}$上．
∵B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，-$\sqrt{3}$），
∴OB=3，OC=$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，故点Q运动到点C所需的时间为$\frac{2\sqrt{3}}{1}$=2$\sqrt{3}$秒，
在Rt△BOC中，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBC=30°，
∴∠OBD=60°，
∵A，B两点的坐标分别为（-1，0），（3，0），
∴AB=4，
∴BD=BP=4-t，点P运动到点B所需的时间为$\frac{4}{1}$=4秒，
∴t的取值范围是：0≤t≤2$\sqrt{3}$，
如图，作DE⊥x轴于E，

在Rt△BDE中，sin∠DBE=$\frac{DE}{BD}$，cos∠DBE=$\frac{BE}{BD}$，
∴DE=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，BE=2-$\frac{1}{2}$t，
∴OE=3-（2-$\frac{1}{2}$t）=1+$\frac{1}{2}$t，
∴D（1+$\frac{1}{2}$t，-2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），
把点D的坐标代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，可得
-2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{3}（1+\frac{1}{2}t）^{2}-\frac{2}{3}\sqrt{3}（1+\frac{1}{2}t）-\sqrt{3}$，
解得t₁=2，t₂=4（不合题意，舍去）
∴t的值为2；

（3）如图，当点Q在线段PD上时，

cos∠QBP=$\frac{BQ}{BP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得t=$\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=8$\sqrt{3}$-12，
当点Q与点C重合时，t=2$\sqrt{3}$，
∴当点Q落在△BDP外部时，t的取值范围是8$\sqrt{3}$-12＜t≤2$\sqrt{3}$．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、解直角三角形以及解一元二次方程的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，并将点D的坐标用含t的代数式表示出来，代入抛物线解析式进行计算求解．