【题目】小明将两个全等的等腰三角板摆放在一起,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE=12.
(1)如图1,当D与C点重合时,CF、CE分别与AB交于M、N两点,且量得AM=3,BN=4,小明发现AM、MN、BN存在某种数量关系,他想:当AM=a,BN=b,MN=c时,这种数量关系仍成立吗?请你一起探究并证明这个结论;
(2)如图2,当等腰Rt△DEF的顶点D恰好在AB的中点处时,DE、DF分别与AC、BC交于M、N,小明经测量后猜想,AMBN是一个定值.你认可他的猜想吗?说明理由,若猜想成立,请求出该定值.
(3)在(2)的条件下,△DEF绕点D旋转,DE、DF所在的直线分别交线段AC和线段BC于点M、N,若CN=2,求MN的长.
【答案】(1)猜想:当AM=a,BN=b,MN=c时,有a2+b2=c2.,证明详见解析;(2)小明的猜想正确,理由详见解析;(3)MN的长为 .
【解析】
(1)由小明量得的数据可猜想当AM=a,BN=b,MN=c时,有a2+b2=c2.可过点B作BG⊥AB,并使得BG=AM,连接CG、GN,从而将AM、NB归结到Rt△NBG中,只需证MN=GN,只需证△MCN≌△GCN,只需证∠MCN=∠NCG,CM=CG,只需证△AMC≌△BGC即可.
(2)由∠A=∠EDF=∠B=45°可证△AMD∽△BDN,根据相似三角形的性质可得AMBN=ADBD=36,从而解决问题.
(3)由条件可求出CA、CB的长,然后由CN可求出BN,再借用(2)中的结论可求出AM,从而可求出CM,在Rt△MCN中运用勾股定理就可解决问题.
解:(1)∵AM=3,BN=4,AB=12,
∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣3﹣4=5,
∴AM2+BN2=MN2.
猜想:当AM=a,BN=b,MN=c时,有a2+b2=c2.
理由如下:
过点B作BG⊥AB,并使得BG=AM,连接CG、GN,如图1,
则有∠ABG=90°.
∵∠ABC=45°,
∴∠GBC=45°.
在△AMC和△BGC中,
,
∴△AMC≌△BGC(SAS),
∴CM=CG,∠ACM=∠BCG,
∴∠MCG=∠ACB=90°.
∵∠MCN=45°,
∴∠NCG=∠MCG﹣∠MCN=45°,
∴∠MCN=∠NCG.
在△MCN和△GCN中,
,
∴△MCN≌△GCN(SAS),
∴MN=GN.
在Rt△NBG中,
∵∠NBG=90°,
∴BN2+BG2=GN2,
∴BN2+AM2=MN2.
(2)小明的猜想正确.
理由如下:
如图2,
由题可得∠A=∠MDN=∠B=45°,
∵∠MDB=∠A+∠AMD=∠MDN+∠NDB,
∴∠AMD=∠NDB,
∴△AMD∽△BDN,
∴=,
∴AMBN=ADBD.
∵D为AB的中点,AB=12,
∴AD=BD=6,
∴AMBN=36.
∴AMBN是一个定值,该定值为36.
(3)连接MN,如图3,
在Rt△ACB中,
∵∠C=90°,AC=BC,AB=12,
∴AC=BC=6.
∵AMBN=36.
∴AM=,
∴CM=CA﹣AM=6﹣=.
在Rt△MCN中,
∵∠C=90°,
∴MN2=CM2+CN2=()2+(2)2
=. +8=,
∴MN=.
∴MN的长为.
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【题目】已知直线l:y=kx和抛物线C:y=ax2+bx+1.
(1)当k=1,b=1时,抛物线C:y=ax2+bx+1的顶点在直线l:y=kx上,求a的值;
(2)若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r,则无论非零实数k取何值,直线r与抛物线C都只有一个交点;
(i)求此抛物线的解析式;
(ii)若P是此抛物线上任一点,过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q,O为原点,
求证:OP=PQ.
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【题目】太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一,老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面,改建前屋顶截面△ABC如图2所示,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后顶点D在BA的延长线上,且∠BDC=90°,求改建后南屋面边沿增加部分AD的长.(结果精确到0.1米)
(参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95.tan18°≈0.32,sin36°≈0.59.cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k<0)与反比例函数的图象相交于A、B两点,一次函数的图象与y轴相交于点C,已知点A(4,1)
(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接OB(O是坐标原点),若△BOC的面积为3,求该一次函数的解析式.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 .
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【题目】四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上,点A是⊙O上的一个动点(不与点B、C、D重合)。若四边形OBCD是平行四边形时,那么的数量关系是________________.
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【题目】如图,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于 (结果保留根号).
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【题目】有三张分别标有数字2,5,9的卡片,它们的背面都相同.现将它们背面朝上,从中任意抽出一张卡片,不放回,再从剩余的两张卡片里任意抽出一张.
(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果.
(2)求两张卡片的数字之和为偶数的概率.
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【题目】已知△ABC的边AB是⊙O的弦.
(1)如图1,若AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,且DM⊥AC于M,请判断直线DM与⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)如图2,AC交⊙O于点E,若E恰好是的中点,点E到AB的距离是8,且AB长为24,求⊙O的半径长.
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