Question

9．已知：线段a、b；
（1）求作：a，b为边的等腰三角形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若a=5，b=6，求（1）中所作等腰三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）分a为底边、b为腰和a为腰、b为底边两种情况，作底边的中垂线，再以底边的端点为圆心、另一边长为半径画弧交中垂线于一点，从而得到等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求得底边上的高，再根据三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）若等腰的底边为b，腰长为a，如图1所示，△ABC即为所求三角形；
若等腰三角形的底边长为a，腰长为b，如图2所示，△DEF即为所求三角形；


（2）如图1，AB=b=6，AC=a=5，
则AM=CM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×CM=$\frac{1}{2}$×6×4=12；
如图2，DE=a=5，DF=b=6，
则DN=NE=$\frac{5}{2}$，
∴$NF=\sqrt{D{F}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{119}}{4}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×DE×NF=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{\sqrt{119}}{4}$=$\frac{5\sqrt{119}}{8}$．

点评 本题主要考查作图-复杂作图，掌握等腰三角形的“三线合一”性质和基本作图、勾股定理是解题的关键．