Question

【题目】如图，AB是定长线段，圆心O是AB的中点，AE、BF为切线，E、F为切点，满足AE=BF，在上取动点G，国点G作切线交AE、BF的延长线于点D、C，当点G运动时，设AD=y，BC=x，则y与x所满足的函数关系式为（　　）

A. 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0，x＞0）

B. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，kb≠0，x＞0）

C. 反比例函数y=（k为常数，k≠0，x＞0）

D. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，x＞0）

Answer 1

【答案】C

【解析】

延长AD，BC交于点Q，连接OE，OF，OD，OC，OQ，由AE与BF为圆的切线，利用切线的性质得到AE与EO垂直，BF与OF垂直，由AE=BF，OE=OF，利用HL得到直角三角形AOE与直角BOF全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠A=∠B，利用等角对等边可得出三角形QAB为等腰三角形，由O为底边AB的中点，利用三线合一得到QO垂直于AB，得到一对直角相等，再由∠FQO与∠OQB为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形FQO与三角形OQB相似，同理得到三角形EQO与三角形OAQ相似，由相似三角形的对应角相等得到∠QOE=∠QOF=∠A=∠B，再由切线长定理得到OD与OC分别为∠EOG与∠FOG的平分线，得到∠DOC为∠EOF的一半，即∠DOC=∠A=∠B，又∠GCO=∠FCO，得到三角形DOC与三角形OBC相似，同理三角形DOC与三角形DAO相似，进而确定出三角形OBC与三角形DAO相似，由相似得比例，将AD=x，BC=y代入，并将AO与OB换为AB的一半，可得出x与y的乘积为定值，即y与x成反比例函数，即可得到正确的选项．

延长AD，BC交于点Q，连接OE，OF，OD，OC，OQ，

∵AE，BF为圆O的切线，

∴OE⊥AE，OF⊥FB，

∴∠AEO=∠BFO=90°，

在Rt△AEO和Rt△BFO中，

∵，

∴Rt△AEO≌Rt△BFO（HL），

∴∠A=∠B，

∴△QAB为等腰三角形，

又∵O为AB的中点，即AO=BO，

∴QO⊥AB，

∴∠QOB=∠QFO=90°，

又∵∠OQF=∠BQO，

∴△QOF∽△QBO，

∴∠B=∠QOF，

同理可以得到∠A=∠QOE，

∴∠QOF=∠QOE，

根据切线长定理得：OD平分∠EOG，OC平分∠GOF，

∴∠DOC=∠EOF=∠A=∠B，

又∵∠GCO=∠FCO，

∴△DOC∽△OBC，

同理可以得到△DOC∽△DAO，

∴△DAO∽△OBC，

∴，

∴ADBC=AOOB=AB2，即xy=AB2为定值，

设k=AB2，得到y=，

则y与x满足的函数关系式为反比例函数y=（k为常数，k≠0，x＞0）．

故选：C．