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    如图1，边长均为6的正△ABC和正△A′B′C′原来完全重合．如图2，现保持正△ABC不动，使正△A′B′C′绕两个正三角形的公共中心点O按顺时针方向旋转，设旋转角度为α（α＞0°）．（注：除第 （3）题中的第②问，其余各问只要直接给出结果即可）
    （1）当α多少时，正△A′B′C′与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合？
    （2）当0°＜α＜360°时，要使正△A′B′C′与正△ABC重叠部分面积最小，α可以取哪些角度？
    （3）旋转时，如图3，正△ABC和正△A′B′C′始终具有公共的外接圆⊙O．当0°＜α＜60°时，记正△A′B′C′与正△ABC重叠部分为六边形DEFGHI．当α在这个范围内变化时，
    ①求△ADI面积S相应的变化范围；
    ②△ADI的周长是否一定？说出你的理由．
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    分析：（1）因为当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合，故α=120°；
    （2）当△A′B′C′中任意一条边与△ABC平行时重叠部分面积最小，由（1）可知当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合时α=60°，所以当α=60°、180°或300°时重叠部分面积最小；
    （3）①由于两三角形的边长均为6，所以当A′B′∥BC时，△ADI为等边三角形，所以ID=2，所以S△ADI=
    1
    2
    ID•AI•sin60°=
    1
    2
    ×2×2×
    		3
    2
    =
    		3
    ，进而可得出结论；
    ②连接AB′，根据AB=A'B'，可得出
    AB
    =
    A′B′
    ，再根据圆周角定理即可得出IA=IB'，DA=DA'，进而可得出结论．
    解答：精英家教网解：（1）∵当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合，此时点A′与C重合，旋转角度α=180°-60°=120°，
    ∴当α=120°时，正△A'B'C'与正△ABC
    出现旋转过程中的第一次完全重合；（2分）


    （2）当△A′B′C′中任意一条边与△ABC平行时重叠部分面积最小，
    ∵由（1）可知当B′与A重合时正△A'B'C'与正△ABC出现旋转过程中的第一次完全重合时α=60°，
    ∴当α=60°、180°或300°时重叠部分面积最小；

    （3）①∵两三角形的边长均为6，
    ∴当A′B′∥BC时，∠ADI为等边三角形，
    ∴ID=2，
    ∴S△ADI=
    1
    2
    ID•AI•sin60°=
    1
    2
    ×2×2×
    		3
    2
    =
    		3
    ，
    ∴△ADI面积S相应的变化范围为：0＜S＜
    		3
    （7分）
    ②△ADI的周长一定；理由如下：
    连接AB′，∵AB=A'B'，
    ∴
    AB
    =
    A′B′
    ，
    ∴
    BB′
    =
    AA′
    ，（9分）
    ∴∠IAB'=∠IB'A，
    ∴IA=IB'，
    同理，DA=DA'，（11分）
    ∴△ADI的周长：IA+ID+DA=IB'+ID+DA'=A'B'=6．（12分）
    点评：本题考查的是图形旋转的性质、等边三角形的性质、圆心角、弧、弦的关系，涉及面较广，难度较大．
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    20、如图，在边长均为l的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
    （1）以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出
    △OA1B1（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）．
    （2）在（1）中，若M（a，b）为线段AB上的任一点，写出点M的对应点M′的坐标．

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    21、如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
    （1）以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1；
    （2）在（1）的条件下，若线段AB上的一点P的坐标为（a，b），请写出放大后，P点的对应点P1的坐标．

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    23、如图，在边长均为l的小正方形网格纸中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，O为直角坐标系的原点，点A（-1，0）在x轴上．
    （1）以O为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，要求所画△A1B1C1与△ABC在原点两侧；
    （2）分别写出B1、C1的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，
    且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．
    （1）以O为位似中心，请画出将△OAB放大后的图形△OA1B1，使△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1．（所画△OA1B1与△OAB在原点两侧）．
    （2）写出点A1和B1的坐标．

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