Question

已知：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．
如图甲，当AC=BC时，且CE=EA时，则有EF=EG；
（1）如图乙①，当AC=2BC时，且CE=EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF

 

EG；
（2）如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（3）当AC=mBC时且CE=nEA时，则线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）．

Answer 1

分析：本题需要寻找相似三角形，并利用相似三角形的性质依次推理得出结论．

解答：图甲：连接DE，
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=

1

2

AB，
∵AE=EC，
∴DE=AE=EC=

1

2

AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．

（1）EF=

1

2

EG；

（2）解：EF=

1

4

EG．
证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

=

1

3

即EM=

1

3

CD，
同理可得，EN=

2

3

AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴tanA=

CD

AD

=

BC

AC

=

1

2

，
∴

EM

EN

=

1 3 CD

2 3 AD

=

CD

2AD

=

1

2

•

CD

AD

=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

=

1

4

，
即EF=

1

4

EG；

（3）由（1）当AC=2BC时，且CE=EA时，EF=

1

2

EG，
当AC=2BC时，且CE=2EA时，EF=

1

4

EG，
可以得出：当AC=mBC时且CE=nEA时，EF=

1

mn

EG．

点评：本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解，难度较大．