Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=$\sqrt{2}$；②当点E与点B重合时，MH=$\frac{1}{2}$；③AF+BE=EF；④MG•MH=$\frac{1}{2}$，其中正确结论为①②④．

Answer 1

分析 ①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE×$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AE•BF=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$，依此即可作出判断

解答 解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=$\frac{1}{2}$AC=MH，故②正确；
③如图2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠2=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠BDE=90°，
∴DE²=BD²+BE²，即EF²=AF²+BE²，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AC}{BF}$，
∴AE•BF=AC•BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG∥BC，MH∥AC，
∴$\frac{CH}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$；$\frac{CG}{AC}$=$\frac{BF}{AB}$，
即$\frac{MG}{1}$=$\frac{AE}{\sqrt{2}}$；$\frac{MH}{1}$=$\frac{BF}{\sqrt{2}}$，
∴MG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE；MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，
∴MG•MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE×$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AE•BF=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$，
故④正确．
故答案为①②④．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．