Question

【题目】如图，△ABC中，AB⊥BC，BF＝CF，∠C＝30°，D是AC的中点，E是CD的中点，连接BE，AF交于G，连接DG．

（1）若E到BC的距离为2，求AB的长；

（2）证明：GD平分∠AGE；

（3）猜想BG，FG，GD，AF的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）AB＝8；（2）见解析；（3）AF＝GB+GD+GF，见解析.

【解析】

（1）如图1中，作EH⊥BC于H．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

（2）如图1中，连接BD，DF，DM⊥AF于M，DN⊥BE于N．利用全等三角形的对应边相等，面积相等，根据三角形面积公式即可证明DM=DN；

（3）结论：AF=GB+GD+GF．如图2中，连接BD，DF，在GA上取一点M，使得GM=GD．利用全等三角形的性质证明GA=GB+GD，GE=GD+GF即可解决问题．

（1）如图1中，作EH⊥BC于H．

∵AB⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥AB，∴．

∵AD=DC，DE=EC，∴EC：AC=1：4．

∵EH=2，∴，∴AB=8．

（2）如图1中，连接BD，DF，DM⊥AF于M，DN⊥BE于N．

∵∠ABC=90°，AD=DC，∴BD=AD=DC．

∵∠C=30°，∴ABAC=AD=DC．

∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，同法可证△DEF是等边三角形，∴AD=DB，DF=DE，∠ADB=∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE=120°，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴AF=BE，S△ADF=S△BDE，∴AFDM=BEDN，∴DM=DN，∴DG平分∠AGE．

（3）结论：AF=GB+GD+GF．

理由：如图2中，连接BD，DF，在GA上取一点M，使得GM=GD．

∵△ADF≌△△BDE，∴∠DAF=∠DBE，∴∠AGE=∠GBA+∠BAG=∠ABD+∠GBD+∠BAG=∠ABD+∠BAG+∠DAF=120°．

∵DG平分∠AGE，∴∠AGD=∠DGE=∠AGB=∠EGF=60°．

∵GM=GD，∴△DGM是等边三角形，∴DM=DG，∠ADB=∠MDG=60°，∴∠ADM=∠BDG．

∵AD=BD，MD=GD，∴△AMD≌△BDG，∴BG=AM，∴AG=AM+GM=BG+DG，同法可证GE=DG+GF，∴AF=AG+FG=BG+DG+FG．