Question

15．如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线BC：y=-x+3与抛物线y=ax²+bx+c交于B，C两点，OB=3OA，抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点N是抛物线上的一动点且位于直线BC的上方，试求△BCN的最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：CM⊥BC时，根据角的和差，可得∠ECM₁的度数，根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得M点的坐标；BM⊥BC时，根据平行线的性质，可得∠GM₂F═45°，根据等腰直角三角形的性质，可得关于m的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得M点的坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得PN的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）直线y=-x+3，当x=0时，y=3，即C点坐标是（0，3）；
当y=0时，x=3，即B点坐标为（0，3）；
由OB=3OA，得A（-1，0）．
把A（-1，0）、B（3，0）、C（3，0）三点代入方程y=ax²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\\{\;}\end{array}\right.$，
y=-x²+2x+3．
（2）存在．  
ⅰ）当以C为直角顶点时，过点C作C M₁⊥BC，交抛物线于点M₁．过点M₁作y轴的垂线，垂足是E，
如图1：
．
由B（3，0）、C（0，3），得OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO=45°
∵∠BCM₁=90°，
∴∠MCE+∠BCO=90°．
∴∠MCE=45°，
∴EC=E M₁．
设M（m，-m²+2m+3），则m=-m²+2m+3-3，
解得：m₁=0（舍去），m₂=1．
∴-m²+2m+3=4，即M₁（1，4）．
ⅱ）当点B为直角顶点时，过B作BM₂，BM₂⊥BC交抛物线于点M₂，过点M₂作y轴的垂线，垂足是F，BM₂交y轴于点G，
如图2：

∴M₂F∥x轴，
∵∠CBO=45°，
∴∠OBM₂=45°，
∴∠GM₂F═45°．
∴M₂F=GF．
设M₂（m，-m²+2m+3），则n=（-m²+2m+3）+3，
解得：m₁=-2，m₂=3（舍去），
∴-m²+2m+3=-5，即M₂（-2，-5）．
综上所述，M的坐标是（1，4）或（-2，-5）；
（3）如图3：

过点N作NP⊥x轴交直线BC于点P，
设N（n，-n²+2n+3），P（n，-n+3）
NP=（-n²+2n+3）-（-n+3）
=-n²+3n（0＜n＜3），
S_△BCN=S_△CNP+S_△BNP=$\frac{1}{2}$NP•OB
=$\frac{1}{2}$×3×（-n²+3n）
=-$\frac{3}{2}$（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当n=$\frac{3}{2}$时，△BNC的面积最大为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用等腰直角三角形的性质的出关于M点的横坐标的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．