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    已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
    （1）求抛物线的函数关系式；
    （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
    （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    解：（1）将A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)
    代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
    得：，解得：
    ∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3；
    （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
    设直线BC的解析式为y＝kx+b，
    将B(3，0)，C(0，3)代入上式，
    得：，解得：
    ∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
    当x=1时，y＝2，即P的坐标(1，2)；
    （3）抛物线的解析式为：x＝﹣＝1，
    设M(1，m)，已知A(﹣1，0)、C(0，3)，
    则：MA2＝m2+4，MC2＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
    ①若MA＝MC，则MA2＝MC2，
    得：m2+4＝m2﹣6m+10，
    得：m＝1；
    ②若MA＝AC，则MA2＝AC2，
    得：m2+4＝10，得：m＝±；
    ③若MC＝AC，则MC2＝AC2，
    得：m2﹣6m+10＝10，
    得：m＝0，m＝6；
    当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，
    不合题意，故舍去；
    综上可知，符合条件的M点存在，
    且坐标为 M(1，)(1，﹣)(1，1)(1，0)．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．

    (1)求该抛物线的解析式．

    (2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．

    (3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐

    标；若存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．
    【小题1】填空：抛物线的对称轴为直线x＝______，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为______；
    【小题2】求该抛物线的解析式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；
    （3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：2012届山东邹城北宿中学九年级3月月考数学试卷（带解析） 题型：解答题

    已知抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上, 求点D关于直线BC对称的点的坐标；
    （3）在（2）的条件下，连结BD，若点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：2010-2011年浙江省嵊州市九年级上学期期末考试数学卷 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。设抛物线的顶点为D，求解下列问题：

    1.（1）求抛物线的解析式和D点的坐标；

    2.（2）过点D作DF∥轴，交直线BC于点F，求线段DF的长，并求△BCD的面积；

    3.（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由。

     

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