Question

如图，在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，在边AB上取点D，在CA的延长线上取点E，使AC•CE+AB•BD=BC²
求证：（1）∠CEB＞∠ABC；
（2）BE=2CD．

Answer 1

分析：（1）延长CE到F，使EF=2BD，由∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，可得∠ACB=90°，又AC•CE+AB•BD=BC²，等量代换可得AC（CE+2BD）=BC²，即

AC

BC

=

BC

CF

，则△ABC∽△BFC，∠ABC=∠F，根据三角形外角的性质，即可证得；
（2）∠F=30°，则BF=2BC，易证△EFB∽△DBC，即可证得BE=2CD．

解答：证明：（1）延长CE到F，使EF=2BD，
∵在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，
∴∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∴AB=2AC，
∵AC•CE+AB•BD=BC²，
∴AC（CE+2BD）=BC²，
∴AC×CF=BC²，
即

AC

BC

=

BC

CF

，
∴△ABC∽△BFC，
∴∠ABC=∠F=30°，
∵∠CEB＞∠F，
∴∠CEB＞∠ABC；

（2）∵∠F=30°，∠FCB=90°，
∴FB=2BC，又∠F=∠CBD，EF=2BD，
∴△EFB∽△DBC，
∴

BD

EF

=

BC

FB

=

CD

BE

=

1

2

，
∴BE=2CD．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质和三角形外角的性质，掌握如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．