Question

15．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，点G在直角边BC上，BG=5，CG=1，将△DEF的顶点D放在直角边AC上，直角边DF经过点G，斜边DE经过点B，则CD=2或3．

Answer 1

分析 作DM⊥AB于M，设CD=x，由等腰直角三角形的性质得出AC=BC=6，∠A=∠EDF=45°，∠C=90°，AB=$\sqrt{2}$BC=6$\sqrt{2}$，AD=6-x，证出△ADM是等腰直角三角形，得出AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），因此BM=6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），证明△CDG∽△MBD，得出对应边成比例，得出方程，解方程即可．

解答 解：作DM⊥AB于M，如图所示：
设CD=x，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BG=5，CG=1，
∴AC=BC=6，∠A=∠EDF=45°，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=6$\sqrt{2}$，AD=6-x，△ADM是等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），
∴BM=6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6-x），
∵∠BDC=∠CDG+∠EDF=∠A+∠MBD，
∴∠CDG=∠MBD，
又∵∠DMB=90°=∠C，
∴△CDG∽△MBD，
∴$\frac{CD}{MB}=\frac{CG}{MD}$，
即$\frac{x}{6\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}（6-x）}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}（6-x）}$，
解得：x=2，或x=3，
∴CD=2或3；
故答案为：2或3．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解决问题的关键．