Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，
∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是___________ （用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

Answer 1

(1)2；（2）①y=，②分两种情况：Ⅰ．当2＜x＜3时，y=,
Ⅱ．当3≤x≤6时，y=x²?；(3)当 x=时，y_最大=．

试题分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；
（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；
②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；
（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．
试题解析：
解：（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF-BE=2x-x=x，
∴△EFG的边长是x；
过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，
∴DH=CH•tan30°=3×=．
当x=2时，BE=EF=2，
∵△EFG是等边三角形，且DH⊥BC交点H，
∴EH=HF=1.
∴DE=DF==2，
∴△DEF是等边三角形，
∴点G的位置在D点．

（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=；
②分两种情况：
Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．
∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，
∴GM=（3x-6），
由勾股定理得：MN=（3x-6），
∴S_△GMN=×GM×MN=×（3x-6）×（3x-6）=（3x-6）²，
所以，此时y=-（3x-6）²=；

Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC=6-x，
∴y=（6-x）²=x²?；
（3）当0＜x≤2时，
∵y=x²，在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x=2时，y_最大=；
当2＜x＜3时，∵y=，在x=时，y_最大=；
当3≤x≤6时，∵y=x²?；，在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x=3时，y_最大=．
综上所述：当 x=时，y_最大=．