Question

【题目】如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．

（1）求证，四边形是矩形；

（2）若，．求的面积．

Answer 1

【答案】(1)证明见详解；（2）12

【解析】

(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，求得∠DAO=∠ADO，推出AC=BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
(2)根据，设AB=3x，则AD=4x,求出x的值，再求的面积即可.

(1)证明：∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴AO=DO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=10，
∵，
∴设AB=3x，则AD=4x,
∴(3x)2+(4x)2=102，
解得x=2或x=-2(舍去)
∴AB=6，AD=8

∴S△ABO=S△ABD=××6×8=12．