【题目】Rt△OBC在直角坐标系内的位置如图所示,点C在y轴上,∠OCB=90°,反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象与OB边交于点D(m,3),与BC边交于点E(n,6).
(1)求m与n的数量关系;
(2)连接CD,若△BCD的面积为12,求反比例函数的解析式和直线OB的解析式;
(3)设点P是线段OB边上的点,在(2)的条件下,是否存在点P,使得以B、C、P为项点的三角形与△BDE相似?若存在,求出此时点P户的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)m=2n;(2)直线OB的解析式,反比例函数的解析式;(3)点P的坐标为(4,2);
【解析】
(1)根据点在反比例函数图像上得到方程,即可得到结论;
(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F,可得DF=3,根据三角形的面积公式可得BC=8,即可得到结论;
(3)如图,作PG⊥BC于G,①当△BED∽△BCP时,②当△BED∽△BPC时,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
(1)∵点D(m,3)与E(n,6)在y=(k>0)上
∴
∴m与n的数量关系为m=2n;
(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F,可得DF=3,
∴
解得BC=12,
∴B点坐标(12,6)
∴直线OB的解析式;
∵点D(m,3)在OB边上
∴D点坐标(6,3)
∴反比例函数的解析式;
(3)如图,作PG⊥BC于G,由(2)得E点坐标(3,6)
①当△BED∽△BCP时,∠BED=∠BCP,=,
∴DF⊥BC,PG⊥BC,
∴DF∥PG,
∴△BDF∽△BPG,
∴=,
∴=,即,
∴PG=4,
∴P(4,2);
②当△BED∽△BPC时,=,
∴,
∴BP=,
∵=,即.
∴PG=7.2,此时P不在线段OB上,
综上所述,点P的坐标为(4,2).
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【题目】如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于F,连接BF.
(1)求证:四边形BFEP为菱形;
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动;
①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长;
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.
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【题目】如图是抛物线图象的一部分,抛物线的顶点是,对称轴是直线,且抛物线与轴的一个交点为;直线的解析式为.下列结论:①;②;③方程有两个不相等的实数根;④抛物线与轴的另一个交点是;⑤当时,则.其中正确的是( )
A.①②B.①③⑤C.①④D.①④⑤
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,AC是半圆内一条弦,点D是的中点,DB交AC于点G,过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M,连接AD.点E是AB上的一动点,DE与AC相交于点F.
(1)求证:MD=GD;
(2)填空:①当∠DEA= 时,AF=FG;
②若∠ABD=30°,当∠DEA= 时,四边形DEBC是菱形.
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【题目】如图,一张扇形纸片OAB,∠AOB=120°,OA=6,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O重合,折痕为CD,则图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为( )
A.9B.12π﹣9C.D.6π﹣
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【题目】如图,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径.此时圆内接正六边形的周长为,如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时,如果按照上述方法计算,可得圆周率为______.(参考数据:)
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【题目】我国古代重要建筑的室内上方,通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰,称为藻井.北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井(图1),全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井.它展示出精美的装饰空间和造型艺术.从分层构造上来看,太和殿藻井由三层组成:最下层为方井,中层为八角井,上层为圆井.图2是由图1抽象出的平面图形.若最下层方井边长为1,在图2中随机取一点,则此点取自圆内的概率为( )
图1 图2
A.B.C.D.
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