Question

先阅读下面材料，再回答问题．
一般地，如果函数y的自变量x在a＜x＜b范围内，对于任意x₁，x₂，当a＜x₁＜x₂＜b时，总是有y₁＜y₂（y_n是与x_n对应的函数值），那么就说函数y在a＜x＜b范围内是增函数．
例如：函数y=x²在正实数范围内是增函数．
证明：在正实数范围内任取x₁，x₂，若x₁＜x₂，
则y₁-y₂=x₁²-x₂²=（ x₁-x₂）（ x₁+x₂）
因为x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂
所以x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，（ x₁-x₂）（ x₁+x₂）＜0
即y₁-y₂＜0，亦即y₁＜y₂，也就是当x₁＜x₂时，y₁＜y₂．
所以函数y=x²在正实数范围内是增函数．
问题：
（1）下列函数中．①y=-2x（x为全体实数）；②y=-

2

x

（x＞0）；③y=

1

x

（x＞0）；在给定自变量x的取值范围内，是增函数的有

②

．
（2）对于函数y=x²-2x+1，当自变量x

＞1

时，函数值y随x的增大而增大．
（3）说明函数y=-x²+4x，当x＜2时是增函数．

Answer 1

分析：（1）根据正比例函数的增减性，反比例函数的增减性分别进行判断即可得解；
（2）先求出二次函数的对称轴解析式，再根据二次函数的增减性解答；
（3）根据题目信息，按照增函数的证明方法进行证明即可．

解答：解：（1）①y=-2x，
∵k=-2＜0，
∴x在全体实数范围内y随x的增大而减小；
②y=-

2

x

（x＞0），
∵k=-2＜0，
∴x＞0时，y随x的增大而增大；
③y=

1

x

（x＞0），
∵k=1＞0，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
综上所述，增函数只有②；

（2）二次函数y=x²-2x+1的对称轴为x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
∵二次函数开口向上，
∴自变量x＞1时，函数值y随x的增大而增大；

（3）证明：设x₁＜x₂＜2，
则y₁-y₂=（-x₁²+4x₁）-（-x₂²+4x₂），
=-x₁²+x₂²+4x₁-4x₂，
=-（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（x₁-x₂），
=（x₁-x₂）（4-x₁-x₂），
∵x₁＜x₂＜2，
∴-x₁＞-x₂＞-2，x₁-x₂＜0，
∴4-x₁-x₂＞0，
∴（x₁-x₂）（4-x₁-x₂）＜0，
即y₁-y₂＜0，
亦即y₁＜y₂，
也就是当x₁＜x₂＜2时，y₁＜y₂，
所以函数y=x²在正实数范围内是增函数．

点评：本题考查了正比例函数的增减性，反比例函数的增减性，二次函数的增减性以及增函数的定义，读懂题目信息，弄明白增函数的证明过程，问题便不难解决．