Question

12．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．
（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定C，A，A′三点坐标，利用待定系数法，转化为解方程组即可．
（2）如图2中，连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y=kx+b，设M（x，-x²+3x+4），作MN∥y轴交AA′于N，则N（m，-m+4），构建二次函数后利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）分两种情形讨论即可．①当BQ为边时，PN∥BQ 且PN=BQ，由BQ=4，可得-x²+3x+4=±4．解方程可以得到点P的横坐标．②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P₁，P₂的坐标不变；当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标利用图象即可解决．

解答 解：（1）如图1中，

∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边
形A′B′OC′，点A的坐标是（0，4），
∴点A′的坐标为（4，0）．
∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为
y=ax²+bx+c（a≠0）可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a_b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数解析式为y=-x²+3x+4．

（2）如图2中，连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y=kx+b，

可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AA′的函数解析式是y=-x+4．
设M（x，-x²+3x+4），作MN∥y轴交AA′于N，则N（m，-m+4），
S_△AMA′=$\frac{1}{2}$×4×[-x²+3x+4-（-x+4）]=-2（x-2）²+8，
∵-2＜0，
∴x=2时，△AMA′的面积最大，最大面积为8，
∴M（2，6）．

（3）如图3中，

设P点的坐标为（x，-x²+3x+4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，
①当BQ为边时，PN∥BQ 且PN=BQ，
∵BQ=4，
∴-x²+3x+4=±4．
当-x²+3x+4=4时，x=0或3，
可得P₁（0，4），P₂（3，4）；
当-x²+3x+4=-4时，x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，可得P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）．

②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P₁，P₂的坐标不变；
当这个平行四边形为矩形时，即P₁（0，4），P₂（3，4），N₁（0，0），N₂（3，0）．
综上所述，当P₁（0，4），P₂（3，4），P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）．时，P、N、B、Q构成平行四边形；
当这个平行四边形为矩形时，N₁（0，0），N₂（3，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、三角形面积、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．