Question

（2009•自贡）如图，若等边△ABC的边长为6cm，内切圆⊙O分别切三边于点D，E，F，则阴影部分的面积是（　　）

• A．πcm²
• B．

  3

  2

  πcm²
• C．

  1

  4

  πcm²
• D．

  3

  πcm²

Answer 1

分析：连接OA，OE，OF，OD，AD，则AD过O，求出BD、AD，求出三角形ABC的面积，根据S_△OBC=

1

3

S_△ABC，求出OD，求出∠BOC，根据扇形的面积公式求出即可．

解答：解：连接OA，OE，OF，OD，AD，则AD过O，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
由勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

62-32

=3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC×AD=

1

2

×6×3

3

=9

3

，
∵等边三角形ABC的内切圆⊙O分别且AB、BC、AC于F、D、E，
∴OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵AB=BC=AC=6，OD=OE=OF，
∴S_△AOC=S_△OBC=S_△OAC，
∴S_△OBC=

1

3

S_△ABC=3

3

，
∴

1

2

BC×OD=3

3

，
即

1

2

×6×OD=3

3

，
∴OD=

3

，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC=30°，
同理∠OCB=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴阴影部分的面积是：

120π× 3 ×  3

360

=π．
故选A．

点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，勾股定理，三角形的内切圆，等边三角形性质等知识点的应用，关键是求出OD的长和∠BOC的度数，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．