Question

10．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t=2s时，四边形PBQE为菱形；
②当t=0或4s时，四边形PBQE为矩形．

Answer 1

分析 （1）根据正六边形ABCDEF内接于⊙O，可以得到正六边形的各边相等、各个内角相等，由点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t，可以得到BP与QE，PE与BQ的关系，从而可以证得结论；
（2）①根据菱形的性质可以得到菱形的四条边都相等，从而可以得到所用的时间；
②根据矩形的性质，可以分别得到t为多少时，四边形PBQE为矩形．

解答 （1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s），
∴AP=DQ=t，则PF=QC=4-t，
在△ABP和△DEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠A=∠D}\\{AP=DQ}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△DEQ（SAS）
∴BP=EQ，
同理可证，PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB，
∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，
∴AP=PF=DQ=QC，
即t=4-t，得t=2，
故答案为：2；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°-30°=90°，
∴此时四边形PBQE为矩形；
当t=4时，∠ABP=∠APB=30°，
∴∠BPE=120°-30°=90°，
∴此时四边形PBQE为矩形．
故答案为：0或4．

点评 本题考查圆的综合题、平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所要证明的结论需要的条件．