Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，BC=4，延长BC到E，使CE=AD。

（1）证明：△BAD≌△DCE；
（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值。

Answer 1

解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠CDA=∠DCE， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠BAD=∠CDA， ∴∠BAD=∠DCE， ∵AB=DC，AD=CE， ∴△BAD≌△DCE； （2）∵AD=CE，AD∥BC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC∥DE， ∵AC⊥BD， ∴DE⊥BD， 由（1）可知，△BAD≌△DCE， ∴DE=BD， 所以，△BDE是等腰直角三角形，即，∠E=45°， ∴DF=FE=FC+CE， ∵四边形ABCD是等腰梯形，而AD=2，BC=4， ∴FC=1， ∵CE=AD=2， ∴DF=3。