Question

18．如图，AM∥BN，C是BN上一点，O是射线CP上的点，∠MAO的平分线与∠OBN的平分线交于点D．

（1）当点O在AM与BN之间时，如图2所示，求证：∠D=$\frac{1}{2}∠AOB$；
（2）当点O在AM上方时，如图3所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结论，并对你给出的结论加以证明．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE∥AM，过点O作OF∥AM，如图2，则可判断AM∥DE∥BN，根据平行线的性质得∠MAD=∠EDA，∠NBD=∠EDB，同理可得∠AOB=∠MAO+∠NBO，再利用角平分线定义得∠MAD=$\frac{1}{2}$∠MAO，∠NBD=$\frac{1}{2}$∠NBO，于是可得∠ADB=$\frac{1}{2}$（∠MAO+∠NBO）=$\frac{1}{2}$∠AOB；
（2）过点D作DE∥AM，过点O作OF∥AM，如图3，与（1）一样可得∠ADB=∠NBD-∠MAD，∠AOB=∠NBO-∠MAO，而∠MAD=$\frac{1}{2}$∠MAO，∠NBD=$\frac{1}{2}$∠NBO，所以∠ADB=$\frac{1}{2}$（∠NBO-∠MAO）=$\frac{1}{2}$∠AOB．

解答 （1）证明：过点D作DE∥AM，过点O作OF∥AM，如图2，
∵AM∥BN，
∴AM∥DE∥BN，
∴∠MAD=∠EDA，∠NBD=∠EDB，
∴∠ADB=∠MAD+∠NBD，
同理可得∠AOB=∠MAO+∠NBO，
∵AD平分∠MAO，BD平分∠NBO，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠MAO，∠NBD=$\frac{1}{2}$∠NBO，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（∠MAO+∠NBO）=$\frac{1}{2}$∠AOB；
（2）解：（1）中的结论依然成立．
理由如下：过点D作DE∥AM，过点O作OF∥AM，如图3，
∵AM∥BN，
∴AM∥DE∥BN，
∴∠MAD=∠EDA，∠NBD=∠EDB，
∴∠ADB=∠NBD-∠MAD，
同理可得∠AOB=∠NBO-∠MAO，
∵AD平分∠MAO，BD平分∠NBO，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠MAO，∠NBD=$\frac{1}{2}$∠NBO，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（∠NBO-∠MAO）=$\frac{1}{2}$∠AOB．

点评 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．